Ciencia como nunca: Soluciones

Solución al Problema 65 (mostar enunciado)

Solución al Problema 64 (mostar enunciado)

Solución al Problema 63 (mostar enunciado)

Solución al Problema 60 (mostar enunciado)

Alberto es el guitarrista, Blanca la pianista y Carlos el saxofonista.

Solución al Problema 59 (mostar enunciado)

Solución al Problema 58 (mostar enunciado)

Solución al Problema 57 (mostar enunciado)

Operando y teniendo en cuenta algunas igualdades trigonométricas, resulta 4(tg a + cotg a + 1).

Solución al Problema 56 (mostar enunciado)

Solución al Problema 55 (mostar enunciado)

Solución al Problema 54 (mostar enunciado)

Solución al Problema 53 (mostar enunciado)

Habrá la misma cantidad de café en el té que de té en el café.

Solución al Problema 52 (mostar enunciado)

Partimos de una expresión verdadera y llegamos por deducción a otra necesariamente verdadera también, justo la que queríamos demostrar.

Solución al Problema 51 (mostar enunciado)

La expresión es igual al número áureo.

Solución al Problema 50 (mostar enunciado)

Solución al Problema 49 (mostar enunciado)

Solución al Problema 48 (mostar enunciado)

Solución al Problema 46 (mostar enunciado)

Calculamos la velocidad media de cada tren, que dado que lleva una aceleración constante y la velocidad final es 0, la velocidad media será v/2. Tiene que recorrer d/2 de distancia, por lo que el tiempo será d/v.

Calcularemos la distancia recorrida por ese pájaro en un tiempo d/v. Como su velocidad es 2v, el espacio recorrido por el pájaro es 2d, es decir, el doble de la distancia que separaba inicialmente a los trenes.

Solución al Problema 45 (mostar enunciado)

Basta con calcular cuántos múltiplos de 2 hay entre el 1 y el 100 y cuántos múltiplos de 5, y coger el menor de esos números. Como 5>2, habrá más múltiplos de 5, que serán justamente 100/5 = 20 números. Pero hay varios múltplos de 5 que no tienen solo un 5, sino dos. Es el caso de los múltiplos de 25 entre 1 y 100, que son 4, por lo que 100! acaba en 24 ceros.

Solución al Problema 44 (mostar enunciado)

Podemos preguntarnos, ¿cuántos saludos hay en una fiesta de n personas? Si te fijas en la resolución del Problema 15, y si llamamos n al número de personas y a al número de apretones de manos, la ecuación que las relaciona sería:

p(p-1) = 2n

Hay que demostrar que si n es impar, p es par. Si n fuese impar, n = 2k +1 siendo k un número natural. Entonces despejando de la ecuación de arriba tendríamos que:

16k + 9 va a ser impar, y su raíz cuadrada también. Si demostramos que el numerador de la ecuación superior es siempre múltiplo de 4, hemos resuelto el problema. Equivale a decir que q en la fórmula de abajo siempre sea un número natural. Despejando q en función de p, vemos que no es así:

Eso demuestra que la premisa de la que partimos es falsa, por lo que si el número de saludos es impar, puede haber un número de personas impares. Como es probable que me haya equivocado en los cálculos de la imagen superior, podemos refutar la premisa buscando un solo ejemplo que la contradiga:

Si en la fiesta hay 3 personas, hay 3 saludos. Eso acaba de demostrar la falsedad del enunciado.

Solución al Problema 43 (mostar enunciado)

Para que se cumpla el requisito del enunciado, la velocidad angular de rotación del satélite debería ser igual a la de la Tierra. La llamaremos w. Igualando aceleración centrípeta a aceleración gravitatoria intentaremos hallar la altura d a la que se encuentra el satélite.

Ahora buscaremos la relación entre energía potencial gravitatoria y energía cinética de un satélite de altura h (consideramos h como la distancia al centro de la Tierra). Llamaremos g a la aceleración gravitatoria a una altura h:

Por lo tanto, para cualquier objeto con una órbita estable alrededor de otro, su energía cinética siempre será el doble que su potencial gravitatoria.

Solución al Problema 42 (mostar enunciado)

¿Qué pasaría si Basilio y Carlos, los dos, estuviesen enchufados? Sería paradójico, porque para Basilio tendría más probabilidades de morir Carlos, y para Carlos, Basilio.

Si lo pensamos bien, no sería paradójico, ya que en ese caso implicaría necesariamente que Alberto se va a salvar, y por lo tanto las probabilidades de morir serían iguales, del 50 %. Al haber un enchufado más, el carcelero tiene que decirles a los dos el mismo, que necesariamente será el que se salve, eliminando así las diferencias de probabilidades.

Solución al Problema 40 (mostar enunciado)

Primero debemos calcular el radio R. A simple vista se ve que es 50, pero comprobémoslo matemáticamente. Se puede hacer por trigonometría o por Pitágoras, y por comodidez lo haremos por este último método.

(R-50)^2 + 50^2 = R^2

Resolviendo esa ecuación se obtiene R=50, por lo que el área del círculo será 2500·pi unidades cuadradas.

Solución al Problema 39 (mostar enunciado)

El 20 de Junio se suicidarán a la vez todos los habitantes de la isla. ¿Por qué? Muy sencillo...

Para suicidarse, hay que estar seguro completamente de que tus ojos son azules. Si en la isla viviesen 2 personas, ¿Cuántos días vivirían? El primer día cada uno vería que los ojos del otro son azules, por lo que no saben si los suyos también lo serán. Al día siguiente, viendo que ninguno se ha suicidado, se deduce que ambos han razonado igual, por lo que ambos tienen los ojos azules y se suicidan. Han durado 2 días.

Si fuesen 3, es más complejo. Vamos a meternos en la cabeza de uno de los habitantes y supongamos que NO tiene los ojos azules, pero claro, no lo sabe. El primer día no ocurriría nada, ya que los otros dos no pueden estar seguros de que tengan los ojos azules. El segundo día, como ninguno de los dos se suicida, razonarán que los dos tienen los ojos azules y se suicidarán. Entonces, si ese habitante que hemos mencionado no tuviese los ojos azules, esperaría que el segundo día se suicidasen sus compañeros, pero como no ocurre así, deduce que tiene los ojos azules. Aplicando esta estrategia para todos los habitantes, deducimos que los tres se suicidarán el tercer día.

Con 4, haríamos igual, durarían 4 días. Con n habitantes durarían n días, por lo que solamente tenemos que coger un calendario y contar 30 días después del 21 de Mayo. El 20 de Junio.

Solución al Problema 38 (mostar enunciado)

La respuesta típica es en el Polo Norte, ya que como la Tierra es esférica, puedes andar 5 km al sur, 5 al este y 5 al norte y regresar al mismo punto. Lo que muchos no saben, es que hay un gran número de puntos en la Tierra que cumplen esas condiciones, todos ellos próximos al Polo Sur:

Si nos encontramos 5 km por encima del paralelo terrestre cuya circunferencia mide 5 km, también se cumplen las condiciones del problema. Caminaremos 5 km al sur, 5 km al este recorriendo todo el paralelo y volveríamos a subir 5 km regresando al mismo punto.

Si nos encontramos a 5 km del paralelo de 2,5 km, bajamos 5 km, damos dos vueltas al paralelo, subimos 5 km y regresamos al mismo punto.

Existirían infinitos puntos, ya que podemos repetir el proceso anterior dividiendo 5 entre todos los números naturales. En el límite, te encontrarías a 5 km del polo sur, bajarías esos 5 km, darías infinitas vueltas sobre ti mismo y cuando acabes (va para rato...), subirías otros 5 km.

En general si te encuentras 5 km al norte del paralelo cuya circunferencia mide 5/n km, necesitas dar n vueltas para que se cumpla lo del enunciado, y luego subir los 5 km restantes.

Solución al Problema 37 (mostar enunciado)

Una vez derretido el hielo, la altura se mantendrá en las 3/4 partes de la altura del vaso, es decir, no subirá más. El peso de todo el hielo debe ser igual al empuje del fluido que en este caso es agua. El empuje es igual al peso del fluido desplazado, por lo que el peso del hielo es igual al agua que ha desplazado. Por lo tanto, cuando se derrita, el nuevo líquido ocupará un volumen igual al trozo de hielo que estaba sumergido, lo que implica que el volumen no subirá.

Solución al Problema 36 (mostar enunciado)

Encendemos el interruptor 1 durante 10 minutos. Pasados esos 10 minutos, encendemos el 2 y entramos. Si la bombilla está encendida, es el 2. Si está apagada pero caliente, el 1. Y si está apagada y fría, el 3.

Solución al Problema 35 (mostar enunciado)

Para que la velocidad promedio sea el doble, deberá recorrer el doble de distancia en el mismo tiempo, es decir, tendría que regresar a la ciudad A instantáneamente, lo cual es imposible. La velocidad promedio nunca puede alcanzar el doble de la de ida, solo aproximarse.

Solución al Problema 34 (mostar enunciado)

Cuando el perro alcance la velocidad del sonido, dejará de oír la campanita, por lo que este será el límite de su velocidad.

Solución al Problema 33 (mostar enunciado)

La solución reside, cómo no, en Newton. Al lanzar la pelota, hay una fuerza de igual módulo que reduce la energía cinética del coche, por lo que el motor tendrá que aumentar la velocidad del coche. Y ahí está la energía que nos faltaba.

Solución al Problema 32 (mostar enunciado)